Демонстрационный вариант экзаменационной работы предназначен для того, чтобы дать школьнику представление о содержании и структуре работы, о том, сколько в ней будет заданий, в каком порядке расположены, как сформулированы и как требуется записать ответ. Вы можете потренироваться на этом варианте, обратив особое внимание на то, как авторы ЕГЭ подходят правильной к записи ответов и решений к заданиям.
Внимательно прочитайте пояснения, которые даются к демонстрационному варианту — оно содержит важную информацию, касающуюся оценки правильных ответов: сколько баллов дается за выполнение того или иного задания, какого минимальное количество выполненных заданий, сколько времени отводится на решение всей работы и т.п.
Вы можете скачать демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2016 профильного уровня в формате pdf:
Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2016 года по математике. Профильный уровень (pdf)
Или пройти первичное тестирование онлайн:
ПЕРВИЧНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ профильный уровень
Если Вы готовы, нажмите на кнопку "Начать". Желаем удачи!
Начать
Вы набрали %%PERCENTAGE%% баллов. %%RATING%%
Максимальное количество баллов, которое можно получить в этом тесте - 32.
%%PERCENTAGE%% от 32 - это ваш первичный балл.
Примерная шкала перевода первичных баллов ЕГЭ по математике 2021 профильного уровня
Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл
в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд
находился в пути?
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
12
B
8
C
7,5
D
5
E
30,5
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 1:
Между 23:50 дня отправления и 00:00 дня прибытия пройдёт 10 минут. Между 00:00 дня прибытия и 07:50 дня прибытия пройдёт 7 часов 50 минут. Следовательно, всего поезд будет в пути 7 часов 50 минут + 10 минут = 8 часов.
Ответ: 8.
Задание 2
На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый
месяц 1920 года. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.
Сколько месяцев средняя
температура была больше 18 градусов Цельсия?
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
12
B
8
C
24
D
4
E
3
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 2:
По рисунку видно, что средняя температура в Сочи была больше 18 градусов Цельсия в 6-ом, 7-ом, 8-ом и 9-ом месяцах, то есть 4 месяца.
Ответ: 4.
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см2.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
8
B
24
C
12
D
10
E
6
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 3:
Ответ: 6.
Задание 4
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах
встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно
выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом
билете будет вопрос о грибах.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
0,92
B
0,25
C
0,9
D
0,08
E
0,5
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 4:
Ответ: 0,08.
Задание 5
Найдите корень уравнения:
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
3
B
5
C
4
D
27
E
9
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 5:
Ответ: 9.
Задание 6
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32 градусам. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
16
B
58
C
64
D
32
E
90
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 6:
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего ему центрального угла:
Ответ: 64.
Задание 7
На рисунке изображён график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены девять точек: .
Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
5
B
3
C
7
D
4
E
2
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 7:
В тех точках, в которых производная функции отрицательна, функция убывает.
На данном графике это следующие точки: . Всего их 4.
Ответ: 4.
Задание 8
В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
2
B
4
C
6
D
16
E
32
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 8:
Ответ: 4.
Задание 9
Найдите , если и .
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
0,81
B
0,5
C
0,4
D
-0,64
E
-0,96
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 9:
Ответ: -0,96.
Задание 10
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз,
испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник
регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость
погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
где c = 1500 м/с - скорость звука в воде; - частота испускаемого сигнала (в МГц); — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту
отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
751
B
750
C
748
D
479
E
1501
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 10:
Ответ: 751.
Задание 11
Весной катер идет против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идет против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
5
B
1
C
2
D
4
E
3
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 11:
1. Пусть — собственная скорость катера (км/ч), — скорость течения реки весной (км/ч).
2. Исходя из условия запишем отношение скоростей весной:
(1)
3. Исходя из условия запишем отношение скоростей летом:
.
(2)
4. Выразим у, приравняв правые части уравнений (1) и (2)
Ответ: 5.
Задание 12
Найдите точку максимума функции .
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
-5
B
-3
C
-9
D
-8
E
4
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 12:
Искомая точка максимума
Ответ: -5.
Задание 13
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
а) б)
B
а) б)
C
а) б)
D
а) б)
E
а) б)
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 13:
а) Преобразуем обе части уравнения:
Из уравнения находим:
Из уравнения находим:
б) С помощью числовой окружности отберём
корни уравнения, принадлежащие промежутку
Получаем числа:
Ответ:
а)
б)
Задание 14
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
B
C
D
E
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 14:
а) Пусть точка H — середина AC.
Тогда
С другой стороны,
Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.
б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1.
Тогда прямая NP перпендикулярна A1B1 и прямая NP перпендикулярна A1A. Следовательно, прямая NP перпендикулярна ABB1. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB1.
Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах прямая BM перпендикулярна MP. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1 , то есть
Поэтому
Следовательно,
Ответ: б)
Задание 15
Решите неравенство:
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
B
C
D
E
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 15:
Пусть ,
тогда неравенство примет вид:
,
,
,
,
откуда:
.
При получим
При получим
Ответ:
Задание 16
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается
первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает
первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность
в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы
окружностей равны 4 и 1.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
0,8
B
12
C
4,0
D
3,2
E
1,6
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 16:
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно.
Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD и AB перпендикулярны. Аналогично, получаем, что BC перпендикулярна AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.
Треугольники BKC и AKD подобны,
Пусть , тогда
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,
То есть . Аналогично,
Площадь трапеции ABCD равна 25S .
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1 :
Тогда
Следовательно, 25S = 20 , откуда S = 0,8 и .
Ответ: 3,2.
Задание 17
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r целое число.
− Со 2 по 14 число необходимо выплатить часть долга.
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг (в млн рублей)
1
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Дата
Долг (в млн рублей)
15.01
1
15.02
0,6
15.03
0,4
15.04
0,3
15.05
0,2
15.06
0,1
15.07
0
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
7,6
B
8
C
9
D
7
E
7,5
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 17:
Долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0.6; 0.4; 0.3; 0.2; 0.1; 0.
Пусть
тогда долг на первое число каждого месяца равен:
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
Общая сумма выплат составляет:
По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, значит,
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, искомое число процентов — 7.
Ответ: 7.
Задание 18
Найдите все положительные значения , при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
B
C
D
E
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 18:
Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса 3, а если , то оно задаёт окружность с центром в точке того же радиуса (см. рис.).
При положительных значениях параметра уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .
Из точки проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью где лежит между и . Так как то .
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются.
Из точки проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью где лежит между и . Так как то
При или окружности и не пересекаются.
При окружности и имеют две общие точки.
При или окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как то условию задачи удовлетворяют только числа и .
Ответ: .
Задание 19
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Используйте виртуальную клавиатуру для ввода ответа:
A
а) 40; б) положительных; в) 16
B
а) 44; б) отрицательных; в) 17
C
а) 35; б) положительных; в) 15
D
а) 36; б) отрицательных; в) 16
E
а) 40; б) отрицательных; в) 20
Так будет записан Ваш ответ в бланке:
Пояснение к заданию 19:
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому . Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) (оценка) Подставим в правую часть равенства
, откуда . Так как , получаем: то есть положительных чисел не более 17.
в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17.
Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда , указанный набор
удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Если вы закончили, то нажмите кнопку ниже. Все вопросы, на которые вы не ответили будут отмечены знаком "Ошибка".
Завершить тестирование
Количество оставшихся заданий: 19.
←
Все
→
Назад
Закрашенные квадратики - это завершенные задания.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Конец
Назад
Вы решили
заданий
Вы набрали
Правильно
Ошибка
Засчитан частично
You have not finished your quiz. If you leave this page, your progress will be lost.
Correct Answer
You Selected
Not Attempted
Final Score on Quiz
Attempted Questions Correct
Attempted Questions Wrong
Questions Not Attempted
Total Questions on Quiz
Question Details
Results
Date
Score
Подсказка
Time allowed
minutes
seconds
Time used
Answer Choice(s) Selected
Question Text
All done
Это все очень плохо. Совсем никуда не годится.
Плохо. Рекомендуем изучить материалы сайта и потренироваться ещё на наших тестах. Будьте более внимательны.
Плохо. Рекомендуем изучить материалы сайта и потренироваться ещё на наших тестах.
Стоить заметить, что демонстрационный вариант не может охватить все возможные варианты задач, которые могут Вам встретиться на реальном ЕГЭ, поэтому не стоит надеяться, что на экзамене Ваши задания буду абсолютно идентичны представленным в демо-варианте. Даже если Вы решили демо-вариант без ошибок, это не гарантирует Вам высокий балл на ЕГЭ, особенно это касается заданий высокой и повышенной сложности. Они в большинстве своем требуют индивидуального подхода, поэтому для подготовки к решению этих задач изучения демонстрационного варианта будет недостаточно. Советуем Вам более внимательно изучить материалы по этим задачам.